Tugas ke-4 Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar

A. Himpunan dan Bilangan

1. Pengertian Himpunan dan Anggota Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur dari suaru himpunan. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal “{ }” dan diberi nama dengan huruf kapital, misalkan A, B, C, D dan seterusnya.

Anggota himpunan adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan. Objek-objek yang merupakan suatu anggota himpunan, ditulis dengan simbol “ϵ”, sedangkan yang bukan anggota himpunan ditulis dengan simbol “∉”.

2. Macam-macam Himpunan Berdasarkan Jumlah Anggota

a. Himpunan berhingga.
Suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung.
Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}.
Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

b. Himpunan tak hingga.
Suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga.
Contohnya A = {bilangan genap}, B = {bilangan ganjil}

c. Himpunan kosong.
Suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}, ditulis B = {} = {0}.

d. Himpunan ekuivalen/himpunan sama.
Himpunan yang anggotanya sama. Contohnya A = {b,c,d} B={d,c,b} A=B

e. Himpunan semesta.
Himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
Contohnya: A = {1,3,5,7,9} himpunan semestanya berupa: S = {bilangan asli} S = {bilangan cacah} S = {bilangan ganjil kurang dari 10}.

f. Himpunan bilangan cacah.
Himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya.
Contoh K = {0,1,2,3,4,5}

g. Himpunan bagian.
Apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. Contohnya B = {a,c,e}, A = {a,b,c,d,e} jadi B bagian dari A. Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan. Contohnya : A = (a,b,c,d,e} maka a elemen A

h. Himpunan lepas.
Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. Contohnya A = {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Contohnya A = {a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.

i. Himpunan bilangan asli.
Himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
Contohnya D = {1,2,3,4,...}.

j. Himpunan bilangan genap.
Himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua. Contohnya G = {2,4,6,8,10}

k. Himpunan bilangan ganjil,
Himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua. Contohnya K = {1,3,5,7}

l. Himpunan bilangan prima.
Himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor. Contohnya Y = {2,3,5,7}

m. Himpunan kuadrat bilangan cacah.
Himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua. Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)

3. Operasi Antar Himpunan Beserta Contoh

a. Irisan (intersection)
Irisan himpunan X dan Y adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota X dan juga anggota Y, dinotasikan X∩Y (dibaca irisan himpunan X dan Y).

Contoh:

C = {1, 4, 9, 16, 25}
D = {4, 8, 12, 16, 20}
C ∩ D = {4, 16}
Diagram Venn:

b. Gabungan (union)
Gabungan adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota himpunan X saja atau himpunan Y saja atau anggota himpunan A dan himpunan B, dinotasikan X υ Y (dibaca X union Y atau gabungan dari X dan Y).

Contoh:
P = {1, 3, 5, 7, 9}
Q = {2, 3, 5, 7}
P υ Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

c. Komplemen

Komplemen suatu himpunan X adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan X, dinotasikan Xʿ.

4. Himpunan Bilangan dan Sifat-sifat Bilangan

Himpunan bilangan adalah kumpulan bilangan yang terdefinisi dengan jelas. Adapun jenis-jenis bilangan yaitu bilangan asli (N), bilangan cacah (C), bilangan bulat (B), bilangan rasional (Q), bilangan irrasional (I). Bilangan-bilangan tersebut apabila dikumpulkan dalam tiap jenisnya akan membentuk suatu himpunan.

Sifat-sifat bilangan meliputi:

a. Sifat Komutatif
Dalam penjumlahan dan perkalian, angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan dapat dibolak – balik:
5 + 2 = 7 dan 2 + 5 = 7
5 x 2 = 10 dan 2 x 5 = 10

Ini adalah merupakan sifat komutatif, yaitu jika angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan menghasilkan hasil yang sama. Dalam sebuah variable dapat dituliskan :
a + b = b + a
a x b = b x a

Sifat ini tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian.
5 – 2 = 3 sedangkan 2 – 5 = -3
4 : 2 = 2 sedangkan 2 : 4 = 0,5

b. Sifat Asosiatif
Dalam operasi penjumlahan dan perkalian pada tiga bilangan, tidak menjadi masalah apakah anda menggabungkan dua bilangan pertama kemudian bilangan ketiga, atau jika anda mulai dengan menggabungkan bilangan kedua dan ketiga baru kemudian bilangan pertama.

Contoh :
5 + ( 3 + 6 ) = 14 dan ( 5 + 3 ) + 6 = 14
5(3x6) = 90 dan (5x3)6 = 90

Dalam bentuk variable dapat dituliskan sebagai berikut
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
a(b xc ) = (axb)c

Sedangkan pada operasi pengurangan dan pembagian sifat asosiatif tidak berlaku.

c. Sifat Distributif
Perkalian dapat didistribusikan pada operasi penjumlahan atau pembagian.

Contoh :
3( 4 + 5 ) = 3 x 9 = 27 dan 3(4) + 3(5) = 12 + 15 = 27

Dalam bentuk variable dapat dinyatakan dengan :
a( b + c ) = a(b) + a(c)

Pada operasi pambagian tidak dapt di distribusikan pada operasi penjumlahan ataupun operasi pengurangan.

5. Perbedaan Bilangan Bulat dengan Bilangan Riil

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan negatif, bilangan 0 (nol) dan bilangan positif, yaitu: …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, dan seterusnya. Sedangkan bilangan riil atau bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional sendiri, contohnya 0, 1, 2, ½, 4/7, 5/7, √2, √3, √5, …, dan seterusnya.

B. Relasi

1. Definisi Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B, didefinisikan sebagai suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.

2. Menyajikan Relasi dengan Matriks Relasi dan Diagram Panah

Definisi Relasi adalah himpunan bagian antara A (Domain) dan B (Kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan A secara tunggal, dengan elemen yang ada pada B.

• Penyajian Relasi dengan Matriks Relasi

Relasi antara A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}

• Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

Misalkan A = {3, 4, 5 } B = {2, 4 }
Jika didefinisikan relasi R dari A ke B dengan aturan: ( a,b) ϵ R jika a faktor prima dari b maka relasi tersebut dapat di gambarkan dengan diagram panah berikut ini :

3. Relasi Invers dan Komposisi Relasi

a. Relasi Invers

Apabila f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi f adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. Jadi, invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula. Jika fungsi dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutanmaka invers fungsi f adalah dan dinyatakan sebagaiFungsi f mempunyai fungsi inversjika f merupakan fungsi (korespondensi satu-satu).

Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers apabila fungsi f(x) telah diketahui:

1. Mengubah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y

2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan 

3. Mengganti y pada, dan

4. dengan x, sehingga diperoleh

b. Komposisi Relasi 
Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu fungsi h dari A ke C disebut fungsi komposisi. Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan (dibaca: g bundaran f)

Fungsi Komposisi: (f o g)(x) = f(g(x))

Fungsi Komposisi Relasi :

4. Perbedaan Sifat Relasi

a. Refleksif
Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap p ∈ P berlaku (p, p) ∈ R. Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a) R. Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri.

Contoh:

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1 merupakan relasi refleksif.

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

b. Transitif

Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R bersifat transitif apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R. Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R. Dengan kata lain, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh:

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R. Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif lR = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

c. Simetris

Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) ∈ R berlaku (y, x) ∈ R. Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh:

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

Perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik. Apakah relasi dalam{1, 2, 3, 4} berikut simetrik?

Pembahasan:

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}

Relasi tersebut simetrik. Kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar. {(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}.

d. Anti Simetri

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x = y. Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b. Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh:

Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.

Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1 bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3) R1 dan (3,2) R1 pula.

C. Fungsi

1. Definisi Fungsi

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Terdapat istilah penting dalam Fungsi, di antaranya:

• Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

• Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

• Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan dengan Rf.

Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B. Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B. A disebut domain (daerah asal), B disebut kodomain (daerah kawan)

Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil). Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)

dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas).

Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = Df = {1, 2, 3, 4}, Range = Rf = {2, 4}

Syarat dari suatu relasi yang bisa dikatakan sebuah fungsi:

(i) Dikatakan sebuah fungsi jika setiap anggota A memiliki satu pasangan terhadap anggota B

(ii) Dikatakan bukan sebuah fungsi jika ada salah satu anggota A tidak memiliki pasangan terhadap anggota B

(iii) Dikatakan bukan sebuah fungsi jika ada anggota A tidak memiliki pasangan anggota B serta ada salah satu dari anggota A yang mempunya pasangan anggota B lebih dari satu

(iv) Dikatakan bukan sebuah fungsi jika adalah satu satu dari anggota A memiliki lebih dari satu pasangan anggota B

SIFAT-SIFAT FUNGSI

• FUNGSI INJEKTIF

Fungsi injektif disebut fungsi satu-satu . Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b.

• FUNGSI SURJEKTIF

Fungsi : A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

• FUNGSI BIJEKTIF

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

JENIS-JENIS FUNGSI

• FUNGSI LINEAR

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear

• FUNGSI KONSTAN

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

• FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.

• FUNGSI KUADRAT

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

2. Fungsi Satu-satu (one to one) dengan Fungsi Pada (on to)

• Fungsi One To One

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

•  Fungsi Onto

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

3. Perbedaan Domain, Kodomain dan Range suatu Fungsi

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh:
Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:
a. Domain = { 3, 5 }
Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}
Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}
Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
Range = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}